دنباله ها و سریهای عددی نویسنده: دکتر جواد فرضی - ۱۳٩۳/۸/٢۳

________________________________________________________________

 

  1. آیا سری   همگراست؟

    یک سری p با   است. لذا همگراست.  یک سری هندسی با   است و لذا واگراست. بنابراین مجموع دو سری واگراست.


  2. آیا سری   همگراست یا واگرا؟

    آزمون ریشه را بکار می بریم:




    بنابراین طبق آزمون ریشه سری همگراست.

  3. آیا سری   همگراست یا واگرا؟

    جملات سری مثبت اند. تابع    برای   پیوسته است. با مشتق گیری داریم:



    که بوضوح برای   منفی است. لذا جملات سری نزولی است و شرایط آزمون انتگرال برقرار است.

    با محاسبه انتگرال داریم:







    انتگرال همگراست و لذا طبق آزمون انتگرال سری نیز همگراست.

  4. آیا سری     همگراست یا واگرا؟

    طبق آزمون ریشه داریم:


    بنابراین سری همگراست.

  5. آیا سری

    همگراست یا واگرا؟

    این سری عبارتست از   .  آزمون نسبت را بکار می بریم:




    لذا طبق آزمون نسبت سری واگراست.

  6. آیا سری   همگراست یا واگرا؟


    سری طبق آزمون حد صفر واگراست.

  7. آیا سری     همگراست یا واگرا؟

    از آزمون نسبت استفاده می کنیم:



    با توجه به حد زیر


    داریم



    بنابراین نسبت کمتر از 1 است و سری طبق آزمون نسبت همگراست.

    اگر محاسبه حد   را فراموش کرده اید با فرض   به شکل زیر عمل کنید:


    لذا


    بنابراین



  8. تعیین کنید سری    همگراست یا واگرا؟

    سری دارای جملات مثبت است. با توجه به  ، داریم



    توجه کنید نامساوی دوم با کوچکتر کردن مخرج کسر دوم حاصل شده است. 
    اکنون سری    یک سری p با   است. بنابراین  طبق آزمون مقایسه همگراست.

  9. آیا سری    همگراست یا واگرا؟

    این یک سری متناوب است که به نظر می رسد عبارت  وجود ندارد. اما توجه کنید

    در واقع  و سری را می توان به شکل   نوشت.

    سری تناوبی است. اگر   آنگاه


    که همواره منفی است. بنابراین اندازه جملات نزولی است. نهایتا داریم



    شراط آزمون سریهای متناوب برقرار است و لذا سری همگراست.

  10. سری



    مطلقا همگرا، به طور مشروط همگرا یا واگراست؟


    سری قدر مطلق  را در نظر می گیریم. آزمون مقایسه حد را به کار می بریم:


    حد یک عدد مثبت متناهی است. سری  یک سری همگراست چون سری p با  است.
    لذا طبق آزمون مقایسه حد سری  همگراست.

    بنابراین  مطلقا همگراست.




    منبع

__________________________________________________________________

  1. بازه همگرایی سری    را بدست آورید.

    با استفاده از آزمون نسبت برای قدرمطلق جملات سری داریم:

    سری برای مقادیر   همگراست. با حل این نامساوی داریم    یا  . سری برای مقادیر   و   واگراست.

    نقاط انتهایی را به طور مجزا بررسی می کنیم.

    در نقطه   سری عبارتست از:




    سری در   واگراست.

    در نقطه  سری عبارتست از:

    سری در   واگراست.

    بنابراین سری در  و  واگراست و در   همگراست.


    توجه کنید با آزمون ریشه هم به همین نتیجه می رسید:


    آزمون ریشه نتیجه می دهد که سری برای مقادیر  یعنی  همگراست و برای مقادیر   و   واگراست. بررسی نقاط انتهایی مشابه حالت قبل است.


  2. بازه همگرایی سری    را تعیین کنید.


    با آزمون نسبت برای قدر مطلق جملات داریم:

    سری برای مقادیر   یعنی  همگراست. برای مقادیر  و   سری واگراست.

    نقاط انتهایی را به طور مجزا بررسی می کنیم.

    در نقطه  سری عبارتست از



    این یک سری p با   است و لذا همگراست.


    در نقطه   سری عبارتست از


    این سری مطلقا همگراست چون سری قدرمطلق جملات عبارتست از  که یک سری p با  است و همگراست.

    در مجموع سری برای مقادیر   همگرا و برای مقادیر   و   واگراست.

  3. بازه همگرایی سری   را تعیین کنید.

    از آزمون نسبت داریم:


    سری برای مقادیر   یعنی   همگراست و برای مقادیر   و   واگراست.


    نقاط انتهایی را به طور مجزا بررسی می کنیم.

    در نقطه   سری عبارتست از . این همان سری توافقی است و واگراست.

    در نقطه  سری عبارتست از   که سری توافقی متناوب است و همگراست.


    در مجموع سری برای مقادیر   همگرا و برای مقادیر  و   واگراست.

__________________________________________________________________

  نظرات ()