حد و پیوستگی و مشتق
ساعت ٤:۱٥ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

حد و پیوستگی و  مشتق 

 

مرور چند قضیه مهم از حد و پیوستگی

قضایای مهم حد در کتاب های استاندارد وجود دارد. برای مثال به کتاب استوارت مراجعه کنید.

در اینجا چند قضیه را مرور می کنیم.

قضیه. اگر به ازای مقادیر x نزدیک به a ( احتمالا به جز a) داشته باشیم و حد این دو تابع وقتی که x به a میل کند موجود باشد آنگاه

                                  

قضیه. (قضیه فشار) اگر برای مقادیر x نزدیک به a (به جز احتمالا a) داشته باشیم
                                   

و

                             

آنگاه    

                                              

یک مثال از قضیه فشار عبارتست از:

به شکل زیر توجه کنید:

قضیه. توابع زیر در هر نقطه در دامنه خود پیوسته اند.

چندجمله ایها، توابع گویا، توابع ریشه، توابع مثلثاتی، توابع مثلثاتی معکوس، توابع نمایی و توابع لگاریتمی.

 

تمرین. ناحیه پیوستگی تابع زیر را تعیین کنید

جواب. 

 

قضیه. اگر تابع f در b پیوسته باشد و آنگاه . به عبارت دیگر

 

مثال.

 

_____________________________________________________________________

  1. حدود زیر را محاسبه کنید.

 

 

 

 

 

اثبات (i): برای اثبات این حد از نامساوی زیر استفاده می کنیم:

و یا

برای اثبات این نامساویها از قضیه مقدار میانگین استفاده کنید. در شکل زیر درستی این نامساویها را می توانید مشاهده کنید:

 

 رنگ قرمز(لگاریتم: y= ln x)، رنگ آبی: y=x-1 و رنگ سبز  y=x. توجه کنید به ازای x>1 تابع لگاریتم مثبت است: ln x>0.

 

در نامساوی آخر طرفین به عبارت xa تقسیم شده است. اکنون با فرض a-s>0 ، مثلا فرض کنید s=a/2 باشد، حد طرف راست نامساوی بالا صفر است:

بنابراین طبق قضیه فشار داریم

 اثبات (ii): قرار دهید x=ln t و از (i) استفاده کنید.

 اثبات (iii): قرار دهید x=1/t و از (i) استفاده کنید.

 اثبات (iv): قرار دهید x= -t و از (ii) استفاده کنید.

_____________________________________________________________________

در این تمرین تلاش شده است سرعت سه تابع با هم مقایسه شود:

 

_____________________________________________________________________

 

_____________________________________________________________________

در مثال زیر محدوده x که بتوان تابع  

(1+x)-3

را با دقت 0.1 با خطی سازی محاسبه کرد نشان می دهد.

تابع y=1-3x خطی سازی این تابع در نقطه x=0 است.

with(plots);

plot([1/(1+x)^3, 1-3*x, .1+1/(1+x)^3, -.1+1/(1+x)^3], x = -1/5 .. 1/5);


_____________________________________________________________________

 

تمرین: حد زیر را محاسبه کنید:

_______________________________________________________________________