تکنیکهای انتگرال گیری- روش انتگرال گیری جزء به جزء نویسنده: دکتر جواد فرضی - ۱۳٩۳/۸/٩

تکنیکهای انتگرال گیری- روش انتگرال گیری جزء به جزء

 

اگر u و v  توابعی از  x باشند قاعده مشتق حاصلضرب می گوید

 

 با انتگرال گیری از طرفین داریم

 

 

 این فرمول انتگرال گیری جزء به جزء است.  طرف چپ انتگرالی است که می خواهید آن را محاسبه کنید و در طرف راست دو جزء وجود دارد که یکی نیازی به انتگرال گیری ندارد() و دیگری عبارتست از (). این کار وقتی امکان پذیر است که انتگرال دوم ساده تر از انتگرال اول باشد.

در اینجا می خواهیم انتگرال گیری جزء به جزء توسط جدول را توضیح دهیم. این کار آسان تر از محاسبه-u خواهد بود. برای آنکه این روش را توضیح دهیم از فرمول زیر شروع می کنیم 

 دوباره انتگرال گیری جزء به جزء را به انتگرال طرف راست به کار ببرید. این بار از  مشتق و از v انتگرال بگیرید

 

 اگر بازهم انتگرال گیری جزء به جزء را به انتگرال طرف راست به کار ببریم داریم

 در اینجا یک الگویی وجود دارد که جدول زیر به آسانی آن را نشان می دهد

  مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

 با توجه به عبارتهای  و   در زیر انتگرال باید تصمیم بگیریم در عبارت   کدام قسمت را u  و کدام قسمت را  انتخاب کنیم.

 در اینجا از  و  استفاده می کنیم.  با تشکیل جدول و نوشتن علامتهای متناوب در ستون چپ داریم

 

 مشتقات  در یک ستون و انتگرال های  در ستون دیگر قرار دارد. به محض اینکه مشتق در ستون مشتقات صفر شود انتگرال گیری هم متوقف می شود.

بنابرین، 

 عبارت  برابر 0 است و داریم

 اگر عکس روند بالا عمل می کردیم یعنی   را در ستون انتگرال گیری و  را در ستون مشتق گیری قرار می دادیم ببینید چه اتفاقی می افتاد 

 یعنی وضعیت رفته رفته پیچیده تر و دشوارتر می شد. شاید یک انتخاب دیگر به صورت زیر باشد

 که این کار هم موفقیتی در بر ندارد.

 

 _________________________________________________________________

 برای انتخاب توابع برای ستون مشتق گیری توصیه می شود اولویت بندی زیر را رعایت کنیم. البته این کار قطعی و خلل ناپذیر نیست و به طور کلی باید شرایط هر مساله را در نظر گرفت.

توابع نمایی - توابع مثلثاتی - توانها - توابع مثلثاتی معکوس - لگاریتمها

یا به طور خلاصه

برای مثال اگر بخواهید این روش را برای انتگرال

استفاده کنید لگاریتم   را در ستون مشتق گیری و توان x را در ستون انتگرال گیری قرار می دهیم.

یا انتگرال 

را در نظر می گیریم. در اینجا با توجه به الویت بندی بالا تابع  در ستون مشتق و تابع  در ستون انتگرال قرار می گیرد. توجه کنید که توابع مثلثاتی نسبت به توابع نمایی اولویت دارند تا در ستون مشتق قرار گیرند.

 _________________________________________________________________ 

 مثال. الف) انتگرال  را محاسبه کنید.

ب) انتگرال   را محاسبه کنید

 

مثال. انتگرال   را محاسبه کنید.

ابتدا انتگرال قسمت توان را با جانشانی محاسبه می کنیم

با همان جانشانی داریم

جدول را تشکیل می دهیم

بنابراین،

توجه کنید که این انتگرال را می توان با جانشانی  نیز حل کرد.

 

 مثال. انتگرال   را محاسبه کنید.

انتگرال گیری جزء به جزء در مواردی که تابع انتگران یک تابع تک باشد نیز مفید است. در اینجا روش مناسبی نمی توانید برای انتگرال گیری  پیدا کنید، بنابراین از انتگرال گیری جزء به جزء استفاده کنید

بنابراین،

انتگرال جدید را می توانیم با جانشانی ، بنابراین  و  محاسبه کنیم

 

 

مثال. انتگرال   را محاسبه کنید.

نخست پادمشتق را محاسبه کنید و سپس حدود را قرار دهید

بنابراین،

 

مثال. انتگرال   را محاسبه کنید. 

در اینجا بعد از دوبار جزء به جزء به همان انتگرال اول می رسیم. کافی است همانند یک معادله ساده مقدار انتگرال را به عنوان مجهول معادله محاسبه کنیم

 

مثال. انتگرال    را محاسبه کنید.

 

 

این انتگرال را با جانشانی    نیز می توانید محاسبه کنید.

 

  نظرات ()