توابع نمایی، توابع معکوس، توابع مثلثاتی و لگاریتمی
ساعت ٤:۱٤ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

 

توابع نمایی

____________________________________________________________________

توابع نمایی نقش بسیار مهمی در بیان رفتار بسیاری از پدیده ها دارند. همچنین این خانواده از توابع در تعریف بسیاری از توابع دیگر از جمله توابع مثلثاتی، لگاریتم ها و... نقش اساسی دارند.

 

تعریف توان را از ریاضیات مقدماتی می دانیم. برای مثال عدد a به توان عدد طبیعی n  عبارتست از:

                                                          an = a.a...a           بار n

اگر n منفی هم باشد داریم

                                                          a-n  = 1/an                                           

به همین ترتیب می شود این تعریف را به اعداد گویا تعمیم داد. اما تعریف ax برای xهای حقیقی کار آسانی نیست و نیاز به دانستن جزئیاتی دارد.  از جمله اینکه هر عدد گنگ حد دنباله ای از اعداد گویا است و چون برای اعداد گویا تابع نمایی را تعریف کرده ایم و لذا می توان با محاسبه حد یک تابع نمایی مقدار آن را برای xهای حقیقی محاسبه کرد.

 بنابراین یک تابع نمایی با پایه a>0 به ازای همه مقادیر حقیقی تعریف می شود و به بیان دقیق تر دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است.

 

تابع y = 2x را در نظر بگیرید. به ازای مقادیر گویای x شکل این تابع عبارتست از

هر عدد گنگ بین دو عدد گویا قرار دارد و لذا قسمتهای خالی شکل فوق با محاسبه تابع در مقادیر گنگ پر می شود:

به طور کلی توابع نمایی به سه حالت زیر تقسیم می شوند:

یعنی برای a<1 تابع نمایی نزولی، برای a=1 ثابت و برای a>1 صعودی است. به شکل های زیر توجه کنید:

     

 ____________________________________________________________________

توابع معکوس

 

تابع y=f(x) را در نظر می گیریم. معکوس این تابع به صورت زیر تعریف می شود.

برای بدست آوردن تابع معکوس باید بخشی از دامنه تابع f را در نظر بگیریم که تابع در آنجا یک به یک باشد. اگر تابعی در سراسر دامنه خود یک به یک باشد در همه جا معکوس پذیر است.

توجه کنید دامنه و برد تابع معکوس عبارتند از:

به روابط زیر دقت کنید و حوزه ای که این روابط برقرار هستند را به خاطر بسپارید

____________________________________________________________________

معکوس توابع مثلثاتی

 

مثال. تابع y= sin(x) را در نظر می گیریم.

 

همان طور که مشاهده می شود تابع y=sin x در کل دامنه یک به یک نیست. اگر بخواهیم بزرگترین قسمت از دامنه را انتخاب کنیم که این تابع یک به یک باشد بی درنگ باید بازه

را بر می گزینیم.در این بازه شکل تابع به صورت زیر است

 

در این زیر بازه تابع یک به یک است. معکوس آن عبارتست از

تابع معکوس را در شکل زیر می بینیم:


 

تابع معکوس با تقارن نسبت به خط y =x  به دست می آید. برای مشاهده این موضوع سه منحنی را با هم در شکل زیر مشاهده می کنیم.

 

به دامنه و برد تابع معکوس دقت کنید:

 

حال روابط معکوس را برای این دو تابع می نویسیم:

عدم توجه به بازه هایی که این روابط برقرار است منجر به اشتباهات بزرگی خواهد شد.

_________________________________________________________________

به همین ترتیب می توان معکوس توابع مختلف را بدست آورد.

 

 معکوس تابع y=cos(x):

 در شکل زیر y=cos-1(x) را مشاهده می کنید:

 

 

روابط زیر از تابع معکوس نتیجه می شود:

_________________________________________________________________

تمرین. دامنه و برد توابع زیر را تعیین کنید و آنها را رسم کنید.

____________________________________________________________________

 

معکوس توابع نمایی

 

معکوس توابع نمایی لگاریتم نامیده می شود:

به شرط زیر روی پایه توجه کنید:

 

دامنه و برد تابع نمایی:

 

دامنه و برد تابع لگاریتم: 

شکل تابع نمایی و لگاریتم طبیعی:

 

تابع لگاریتم در دامنه خود پیوسته است. 

با استفاده از خصوصیات لگاریتم می توان مشتق توابع پیچیده و برخی از حدود دشوار را محاسبه کرد.

برای جزئیات به بخش حد، پیوستگی و مشتق مراجعه کنید.

_________________________________________________________________

مشتق توابع معکوس

 

با توجه به رابطه

و با کمک مشتق زنجیره ای داریم

بنابراین داریم

با این رابطه می توان مشتق تابع معکوس را محاسبه کرد.

_________________________________________________________________

 

مثال. با فرض f(x)=xex  برای  x>0 خط مماس بر f-1 را در نقطه x=e بدست آورید.

 

با مشتق گیری از f داریم:

با توجه به اینکه

شیب برابر است با

بنابراین خط مماس به صورت زیر است