تکنیکهای انتگرال گیری- روش کسرهای جزئی نویسنده: دکتر جواد فرضی - ۱۳٩۳/۸/٩

تکنیکهای انتگرال گیری- روش کسرهای جزئی

 

توابع به صورت  که در آن  و  چند جمله ای باشند را توابع گویا می نامند.

کسرهای جزئی روند معکوس فرآیند مخرج مشترک گیری است. با این کار می خواهیم توابع ساده تری بدست آوریم تا انتگرال گیری آنها ساده تر باشد. به این مثال توجه کنید

 یعنی تجزیه کسرهای جزئی به این معنی است که اگر کسر طرف راست را بهند بتوانیم دو کسر طرف چپ را از روی آن بدست آوریم.

در اینجا هدف اصلی محاسبه انتگرالهای به فرم  می باشد. البته لازم به ذکر است که تجزیه کسرهای جزئی در محاسبه تبدیل لاپلاس و معکوس آن نیز کاربرد دارد.

این روش اندکی نیاز به محاسبه دارد و لذا بهتر است قبل از امتحان این روش روشهای دیگر را هم بررسی کنیم تا مطمئن شویم آیا راه بهتر و ساده تری هم وجود دارد یا نه؟

 

در آغاز لازم است به فرمولی که اغلب از آن استفاده می شود اشاره کنیم

این فرمول با جانشانی  و لذا  محاسبه می شود. برای مثال

برای تجزیه کسرها 4 حالت وجود دارد که به تفکیک آنها را بیان و سپس مثالهایی را ارائه می کنیم. اول باید بررسی کنیم که درجه صورت کسر از مخرج آن کوچکتر باشد در غیر این صورت با یک تقسیم ساده خارج قسمت را جدا می کنیم و به کسری با درجه صورت کمتر از مخرج می رسیم. به مثال زیر توجه کنید:

همانطور که ملاحظه می شود در طرف چپ "درجه صورت=2>1=درجه مخرج" اما بعد از تقسیم داریم: "درجه صورت=0<1=درجه مخرج".

 

در تجزیه کسر  به این نکته باید توجه کرد که در عبارت مخرج  چه عواملی وجود دارد؟ آیا این عوامل درجه یک هستند یا درجه دو؟ ساده(توان یک) هستند یا توان بالا؟ بر این اساس چهار حالت زیر تفکیک می شود:

الف) اگر مخرج فقط شامل عبارتهای درجه اول ساده مانند   باشد در تجزیه کسر متناظر با آن عبارت  را می نویسیم:

 

 

 ب) اگر عبارت درجه اول به تعداد r مرتبه در مخرج تکرار شود، یعنی عامل  در مخرج وجود داشته باشد. در اینصورت متناظر با این جمله در تجزیه کسر عبارت زیر را می نویسیم:

به مثال توجه کنید. x در مخرج دارای توان 2 است و دو کسر اول برای این عبارت نوشته می شود و (x-1) از درجه 3 است و متناظر با آن سه کسر بعدی نوشته شده است. با مخرج مشترک گیری مجهولات A، B،C، D و E بدست می آیند.

 

ج) اگر مخرج شامل عبارت باشد که در این صورت در تجزیه کسر عبارت زیر در نظر گرفته می شود:

 

 د)  اگر مخرج شامل عبارت باشد که در این صورت در تجزیه کسر عبارت زیر در نظر گرفته می شود:

 

برای مثال به تجزیه کسر زیر دقت کنید:

در مخرج این مثال دو عامل درجه اول ساده، یک عامل درجه دوم ساده و یک عامل درجه دوم از توان دو وجود دارد.

 

_________________________________________________________________

خلاصه چهار حالت بلا در جدول زیر خلاصه شده است:

_________________________________________________________________ 

به مثالهای زیر توجه کنید:

  1. کسر        را تجزیه کنید:



  2.  کسر   را تجزیه کنید:


     
  3. کسر    را تجزیه کنید:


     
  4. تجزیه یک کسر:


    داریم

     

_________________________________________________________________ 

اکنون به محاسبه انتگرالها به فرم

 

می پردازیم. 

  1. انتگرال   را محاسبه کنید.

    مخرج کسر عبارتست از   بنابراین می نویسیم
                     
                           
    با ضرب طرفین به  داریم
                              
    با قرار دادن  نتیجه می شود:
       
    و با قرار دادن  نتیجه می شود:


    و در نتیجه داریم
                           
    بنابراین داریم

     
  2. انتگرال   را محاسبه کنید.

    درجه صورت 3 و درجه مخرج 2 است. صورت را به مخرج تقسیم می کنیم:
                   
    بنابراین،
         
    انتگرال عبارت   را با جانشانی محاسبه کنید

                     
    بنابراین،

    در این مثال با تقسیم محاسبه انتگرال صورت گرفت و نیازی به تجزیه کسرهای جزئی نبود.

  3. انتگرال  را در نظر می گیریم. صورت و مخرج درجه یکسانی دارند و با تقسیم داریم
                                   
    بنابراین،
                        
    انتگرال  به آسانی محاسبه می شود. انتگرال دوم را محاسبه می کنیم. مخرج را فاکتورگیری می کنیم  و داریم

    قرار می دهیم . نتیجه می شود  و لذا 
    قرار می دهیم . نتیجه می شود  و لذا 
    پس داریم،
                        
    بنابراین،

     
  4.  انتگرال   را محاسبه کنید.

    از تجزیه کسرها با توجه به عامل مکرر  داریم
                      
    بعد از مخرج مشترک و طرفین و وسطین داریم
                   
    قرار می دهیم  داریم .
    قرار می دهیم  داریم 
    مقادیر a  و c  را قرار دهید 

    برای پیدا کردن b مقداری برای x جایگزین می کنیم. با فرض  داریم
                   
    بنابراین،
                            
    داریم
                 
    برای پیدا کردن مقدار b راههای دیگری نیز وجود دارد. برای مثال چون (*) یک اتحاد نسبت به x است لذا از طرفین آن نسبت به x مشتق می گیریم، داریم
                       
    با قرار دادن نتیجه می شود.  و در نتیجه .
     
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

______________________________________________________________________

ابتدا توجه کنید که انتگرال زیر به طور مکرر در این بحث استفاده می شود:

  1. کسر زیر را چگونه تجزیه می کنید؟

    پاسخ عبارتست از:




  2. انتگرال  را محاسبه کنید.

    ابتدا توجه کنید:


    در این مثال فرم درجه دوم ساده شدنی نیست. لذا تجزیه را به شکل زیر انجام می دهیم:



    با مخرج مشترک گیری و حذف مخرج داریم:


    قرار دهید: . در این صورت  و لذا  .  با جایگذاری این مقدار داریم

    قرار دهید . نتیجه می شود لذا داریم  .  با جایگذاری ان مقدار نتیجه می شود:

    می توان برای محاسبه b مقدار دلخواهی را به جای x قرار داد و یا از مشتق گیری استفاده کرد. مشتق می گیریم:

    با مشتق گیری دوباره داریم:

    بنابراین نتیجه می شود: b=-1/3.
    با جایگذاری مقادیر بدست آمده در کسر اصلی داریم

    انتگرال عبارتست از


    انتگرالها را به طور مجزا محاسبه می کنیم. ابتدا داریم:

    سپس داریم


    انتگرال اول را با جانشانی محاسبه می کنیم:


    انتگرال دوم را با تبدیل به مربع کامل حل می کنیم:



    با قرار دادن دو نتیجه در کنار هم داریم:

    بنابراین جواب مساله اصلی عبارتست از:

    راه حل یک مقدار طولانی است!
    بنابراین قبل از امتحان روش کسرهای جزئی بهتر است روشهای دیگر را بررسی کنیم و در صورت عدم موفقیت روشهای دیگر با این روش حل کنیم.

______________________________________________________________________

انتگرالهای زیر را محاسبه کنید:

  1.      راهنمایی         حل

  2.    راهنمایی       حل
     
  3.   راهنمایی       حل  

     
  4.    راهنمایی       حل
     
  5.   راهنمایی       حل
     
  6.  راهنمایی       حل
     
  7.  راهنمایی       حل
     
  8.  راهنمایی       حل
     
  9.   راهنمایی       حل
     
  10.   راهنمایی  حل

 

  •  

 

  نظرات ()