تکنیکهای انتگرال گیری- انتگرالهای مثلثاتی و جانشانی مثلثاتی
ساعت ٤:٢۱ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

 

_____________________________________________________________________

برای انتگرالهای شامل سینوس و کسینوس دو حالت مهم وجود دارد.

  1. انتگرال شامل یک توان فرد از سینوس یا کسینوس است.
  2. انتگرال فقط شامل توانهای زوج سینوس و کسینوس می باشد. 

ایده مشابهی برای انتگرال گیری تانژانت و کتانژانت وجود دارد که در ادامه توضیح داده می شود.

_____________________________________________________________________

  1. اگر m  فرد باشد:  u=cos x
  2. اگر  n فرد باشد:  u=sin x
  3. اگر  m و n زوج باشند از روابط نصف کمان استفاده کنید.
        

_____________________________________________________________________

مثال.

 

همانطور که ملاحظه می کنید نکته اصلی در خط دوم است. در این انتگرال تعداد زیادی  و  وجود دارد که با توجه به آنها از جانشانی استفاده می کنیم و توجه داریم که جمله  برای ساختن  وجود دارد.  

در ضمن از اتحاد نیز استفاده شده است.

_____________________________________________________________________

مثال. 

 _____________________________________________________________________

با ایده مشابهی می توان انتگرالهای شامل تانژانت و سکانت را محاسبه کرد.

  • با استفاده از اتحاد  انتگرال را برحسب تعدادی و یک  بنویسید و از جانشانی  استفاده کنید.
  • با اتحاد  انتگرال را بر حسب  تعدادی و یک مورد از عبارت  بنویسید و از جانشانی  استفاده کنید.

 _____________________________________________________________________

  1. اگر n زوج باشد: u = tan x
  2. اگر m فرد باشد:   u = sec x

در سایر حالتها باید از اتحادها و انتگرال گیری جزء به جزء استفاده شود.

 _____________________________________________________________________

مثال. انتگرال زیر را در نظر بگیرید(با جز به جز شروع می کنیم):

 

 _____________________________________________________________________

 مثال.

 _____________________________________________________________________

مثال.

 _____________________________________________________________________

مثال.

 

انتگرال اول را می توان با جانشانی و بنابراین  یا  حل کرد:

 انتگرال دوم را با جانشانی و  یا  می توان محاسبه کرد:

بنابراین

 _____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را می توان با ابتکار زیر محاسبه کرد:

 _____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را می توان با روش جزء به جزء حل کرد:

 

بنابراین،

این فرمول در محاسبات زیادی کاربرد دارد و بهتر است آن را به خاطر بسپارید.

 _____________________________________________________________________

از روش استفاده شده برای توانهای تانژانت و سکانت می توان برای محاسبه انتگرالهای شامل توانهای کتانژانت و کسکانت استفاده کرد. 

برای مثال مشابه روش محاسبه انتگرالهای  و  داریم،

به عبارت دیگر می توانید از اتحاد 

استفاده کنید. برای مثال داریم،

 _____________________________________________________________________

برای انتگرالها با توانهای زوج سینوس و کسینوس از فرمولهای دوبرابر کمان استفاده می شود:

 _____________________________________________________________________

مثال.

 _____________________________________________________________________

مثال. معمولا استفاده از فرمول دوبرابر کمان در توانهای فرد مناسب نیست. به مثال زیر توجه کنید:

در اینجا برای محاسبه انتگرال  باید از فرمول تبدیل به مجموع یا روش جزء به جزء استفاده کنید.

اما روش ساده تر استفاده از تکنیک توانهای فرد است:

  _____________________________________________________________________

درستی روابط زیر را با تبدیل حاصلضرب توابع مثلثاتی به مجموع بررسی کنید:


 _____________________________________________________________________

جانشانی مثلثاتی:


  


 _____________________________________________________________________

 جانشانی مثلثلتی انتگرالها را به انتگرالهای مثلثاتی تیدیل می کند. برای این کار باید ببینیم کدامیک از حالتهای زیر می تواند در انتگرال بوجود آید:

 

  • اگر عبارت  در انتگرال وجود داشته باشد با توجه به اتحاد اول از جانشانی  استفاده کنید.
  • اگر عبارت در انتگرال وجود داشته باشد با توجه به اتحاد اول از جانشانی استفاده کنید.
  • اگر عبارتدر انتگرال وجود داشته باشد با توجه به اتحاد اول از جانشانی  استفاده کنید.

اگر بعد از جانشانی با اتحادهای فوق روبرو نشوید احتمالا جانشانی را اشتباه انجام داده اید.

_____________________________________________________________________

مثال.

برای تکمیل جواب باید همه چیز را بر حسب x بیان کنیم. چون جانشانی برحسب صورت گرفته عبارتهای مثلاتی برحسب و  نیز باید برحسب کمان  نوشته شوند:

بنابراین،

اکنون با استفاده از مثلث 

داریم،

_____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

 

عبارت   شبیه به  است. بنابراین از جانشانی ،

 استفاده می کنیم.

_____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

این انتگرال را می توان با جانشانی  محاسبه کرد. اما استفاده از جانشانی u آسانتر است:

_____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

عبارت  شبیه به  است و لذا از جانشانی ،

 استفاده می کنیم. داریم،

 _____________________________________________________________________

 

 برای انتگرالهایی که تابع انتگران(تابع تحت انتگرال) به فرم F(sin x, cos x) باشد از تغییر متغیر زیر استفاده می کنیم:

 

 

  • مثال 1.

 

  • مثال 2.

 

________________________________________________________________________