توابع نمایی، توابع معکوس، توابع مثلثاتی و لگاریتمی نویسنده: دکتر جواد فرضی - ۱۳٩۳/۸/٩

 

توابع نمایی

____________________________________________________________________

توابع نمایی نقش بسیار مهمی در بیان رفتار بسیاری از پدیده ها دارند. همچنین این خانواده از توابع در تعریف بسیاری از توابع دیگر از جمله توابع مثلثاتی، لگاریتم ها و... نقش اساسی دارند.

 

تعریف توان را از ریاضیات مقدماتی می دانیم. برای مثال عدد a به توان عدد طبیعی n  عبارتست از:

                                                          an = a.a...a           بار n

اگر n منفی هم باشد داریم

                                                          a-n  = 1/an                                           

به همین ترتیب می شود این تعریف را به اعداد گویا تعمیم داد. اما تعریف ax برای xهای حقیقی کار آسانی نیست و نیاز به دانستن جزئیاتی دارد.  از جمله اینکه هر عدد گنگ حد دنباله ای از اعداد گویا است و چون برای اعداد گویا تابع نمایی را تعریف کرده ایم و لذا می توان با محاسبه حد یک تابع نمایی مقدار آن را برای xهای حقیقی محاسبه کرد.

 بنابراین یک تابع نمایی با پایه a>0 به ازای همه مقادیر حقیقی تعریف می شود و به بیان دقیق تر دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است.

 

تابع y = 2x را در نظر بگیرید. به ازای مقادیر گویای x شکل این تابع عبارتست از

هر عدد گنگ بین دو عدد گویا قرار دارد و لذا قسمتهای خالی شکل فوق با محاسبه تابع در مقادیر گنگ پر می شود:

به طور کلی توابع نمایی به سه حالت زیر تقسیم می شوند:

یعنی برای a<1 تابع نمایی نزولی، برای a=1 ثابت و برای a>1 صعودی است. به شکل های زیر توجه کنید:

        

 

 

 

توابع معکوس

_________________________________________________________________

 با فرض f(x)=xex  برای  x>0 خط مماس بر f-1 را در نقطه x=e بدست آورید.

 

با مشتق گیری از f داریم:

با توجه به اینکه

شیب برابر است با

بنابراین خط مماس به صورت زیر است

 

  نظرات ()