دنباله ها و سریهای عددی
ساعت ۱٢:٤٧ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٢۳ : توسط : دکتر جواد فرضی

________________________________________________________________

 

  1. آیا سری   همگراست؟

    یک سری p با   است. لذا همگراست.  یک سری هندسی با   است و لذا واگراست. بنابراین مجموع دو سری واگراست.


  2. آیا سری   همگراست یا واگرا؟

    آزمون ریشه را بکار می بریم:




    بنابراین طبق آزمون ریشه سری همگراست.

  3. آیا سری   همگراست یا واگرا؟

    جملات سری مثبت اند. تابع    برای   پیوسته است. با مشتق گیری داریم:



    که بوضوح برای   منفی است. لذا جملات سری نزولی است و شرایط آزمون انتگرال برقرار است.

    با محاسبه انتگرال داریم:







    انتگرال همگراست و لذا طبق آزمون انتگرال سری نیز همگراست.

  4. آیا سری     همگراست یا واگرا؟

    طبق آزمون ریشه داریم:


    بنابراین سری همگراست.

  5. آیا سری

    همگراست یا واگرا؟

    این سری عبارتست از   .  آزمون نسبت را بکار می بریم:




    لذا طبق آزمون نسبت سری واگراست.

  6. آیا سری   همگراست یا واگرا؟


    سری طبق آزمون حد صفر واگراست.

  7. آیا سری     همگراست یا واگرا؟

    از آزمون نسبت استفاده می کنیم:



    با توجه به حد زیر


    داریم



    بنابراین نسبت کمتر از 1 است و سری طبق آزمون نسبت همگراست.

    اگر محاسبه حد   را فراموش کرده اید با فرض   به شکل زیر عمل کنید:


    لذا


    بنابراین



  8. تعیین کنید سری    همگراست یا واگرا؟

    سری دارای جملات مثبت است. با توجه به  ، داریم



    توجه کنید نامساوی دوم با کوچکتر کردن مخرج کسر دوم حاصل شده است. 
    اکنون سری    یک سری p با   است. بنابراین  طبق آزمون مقایسه همگراست.

  9. آیا سری    همگراست یا واگرا؟

    این یک سری متناوب است که به نظر می رسد عبارت  وجود ندارد. اما توجه کنید

    در واقع  و سری را می توان به شکل   نوشت.

    سری تناوبی است. اگر   آنگاه


    که همواره منفی است. بنابراین اندازه جملات نزولی است. نهایتا داریم



    شراط آزمون سریهای متناوب برقرار است و لذا سری همگراست.

  10. سری



    مطلقا همگرا، به طور مشروط همگرا یا واگراست؟


    سری قدر مطلق  را در نظر می گیریم. آزمون مقایسه حد را به کار می بریم:


    حد یک عدد مثبت متناهی است. سری  یک سری همگراست چون سری p با  است.
    لذا طبق آزمون مقایسه حد سری  همگراست.

    بنابراین  مطلقا همگراست.




    منبع

__________________________________________________________________

  1. بازه همگرایی سری    را بدست آورید.

    با استفاده از آزمون نسبت برای قدرمطلق جملات سری داریم:

    سری برای مقادیر   همگراست. با حل این نامساوی داریم    یا  . سری برای مقادیر   و   واگراست.

    نقاط انتهایی را به طور مجزا بررسی می کنیم.

    در نقطه   سری عبارتست از:




    سری در   واگراست.

    در نقطه  سری عبارتست از:

    سری در   واگراست.

    بنابراین سری در  و  واگراست و در   همگراست.


    توجه کنید با آزمون ریشه هم به همین نتیجه می رسید:


    آزمون ریشه نتیجه می دهد که سری برای مقادیر  یعنی  همگراست و برای مقادیر   و   واگراست. بررسی نقاط انتهایی مشابه حالت قبل است.


  2. بازه همگرایی سری    را تعیین کنید.


    با آزمون نسبت برای قدر مطلق جملات داریم:

    سری برای مقادیر   یعنی  همگراست. برای مقادیر  و   سری واگراست.

    نقاط انتهایی را به طور مجزا بررسی می کنیم.

    در نقطه  سری عبارتست از



    این یک سری p با   است و لذا همگراست.


    در نقطه   سری عبارتست از


    این سری مطلقا همگراست چون سری قدرمطلق جملات عبارتست از  که یک سری p با  است و همگراست.

    در مجموع سری برای مقادیر   همگرا و برای مقادیر   و   واگراست.

  3. بازه همگرایی سری   را تعیین کنید.

    از آزمون نسبت داریم:


    سری برای مقادیر   یعنی   همگراست و برای مقادیر   و   واگراست.


    نقاط انتهایی را به طور مجزا بررسی می کنیم.

    در نقطه   سری عبارتست از . این همان سری توافقی است و واگراست.

    در نقطه  سری عبارتست از   که سری توافقی متناوب است و همگراست.


    در مجموع سری برای مقادیر   همگرا و برای مقادیر  و   واگراست.

__________________________________________________________________


 
روشهای عددی ریاضی 1
ساعت ۸:٠۱ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٢٢ : توسط : دکتر جواد فرضی

روش نیوتن برای حل معادلات غیر خطی به صورت

استفاده می شود. یعنی برای حل یا پیدا کردن ریشه ها(صفرهای) معادلات از این روش استفاده می شود.

عملکرد روش نیوتن در شکل زیر مشخص است

رابطه بازگشتی این روش هم عبارتست از:

 

بنابراین، مثلا برای محاسبه ریشه ششم عدد 2 باید تابعی در نظر بگیرید که این عدد ریشه آن تابع باشد. یعنی

جواب این معادله همان  است که می خواهیم آن را محاسبه کنیم. بنابراین داریم

و روش نیوتن برای این تابع عبارتست از

با شروع از مقدار اولیه  نتایج زیر بدست می آید:

اگر توجه کنید ارقام دو تقریب آخر ثابت مانده است. یعنی تا 8 رقم اعشار مقدار عبارتست از

 توجه کنید اگر مشتق یک تابع در یکی از تکرارها(نقاط) فوق صفر شود روش نیوتن به شکست منجر می شود.

_________________________________________________________________

 

 

 

 


 
جدول فرمولها
ساعت ٧:٥٧ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٢٢ : توسط : دکتر جواد فرضی

جدول انتگرالها

120 انتگرال

Integrals_Table.pdf

______________________________________________________________________________

فرمهای اساسی

 

______________________________________________________________________________

انتگرالهای شامل توابع گویا

______________________________________________________________________________

 

 انتگرالهای شامل ریشه ها

 

 

____________________________________________________________________

 

انتگرالهای شامل لگاریتمها

 

______________________________________________________________________________

انتگرالهای شامل توابع نمایی

 

 

______________________________________________________________________________

 انتگرالهای شامل توابع مثلثاتی

 

______________________________________________________________________________

 انتگرالهای شامل توابع مثلثاتی و تک جمله ایها

______________________________________________________________________________

 

انتگرالهای توابع هذلولوی

______________________________________________________________________________

 انتگرالهای شامل حاصلضرب توابع نمایی و توابع مثلثاتی

 ______________________________________________________________________________

 

______________________________________________________________________________

 

 

______________________________________________________________________________

 

 

 

______________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 
تمرینات درس ریاضی عمومی 1
ساعت ٥:٤٠ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/۱۳ : توسط : دکتر جواد فرضی

 

  • تمرینات بتدریج اضافه می شوند....

تمرینات درس ریاضی عمومی 1


دانلود تمرینات استوارت



        تمرینات زیر حل شوند

تاریخ تحویل

شماره تمرین            

تمرین سری 1




در تصویر مشخص شده اند.

 

 

Exercises 1.1.pdf

 1-2-56-72-76

 اختیاری

 

Exercises 1.2.pdf

 19(a)(b)-20(a)(b)

 اختیاری  

Exercises 1.3.pdf

 2(d)(f)-3-27-45-57-58 

 اختیاری

 

Exercises 1.4.pdf

 Maple(15-27-32-34)

 اختیاری

 

Exercises 1.5.pdf

 2(b)-Maple(9-10)-28-33

 اختیاری

 

Exercises 1.6.pdf

 56-57-Maple(73-74)-75-76

 اختیاری  

Exercises 1-review.pdf

 23

 اختیاری

 

Exercises 2.1.pdf

 -

 

 

Exercises 2.2.pdf

 12-Maple(47)

 اختیاری

 

Exercises 2.3.pdf

 Maple(35)-47

 اختیاری

 

Exercises 2.4.pdf

 - 

 

 

Exercises 2.5.pdf

 -

 

 

Exercises 2.6.pdf

 -

  

 

Exercises 2.7.pdf

 -

 

 

Exercises 2.8.pdf

 3

 اختیاری

 

Exercises 2-review.pdf

 15-18-20

اختیاری

 

Exercises 3.1.pdf

64

 

 

Exercises 3.2.pdf

 2

 

 

Exercises 3.3.pdf

 50

 

 

Exercises 3.4.pdf

 29-33-34-40-44-50-Maple(58)

 

 

Exercises 3.5.pdf

 29-30-31-32-64-77

 

 

Exercises 3.6.pdf

 8-50-56

 

 

Exercises 3.7.pdf

 -

 

 

Exercises 3.8.pdf

 -

 

 

Exercises 3.9.pdf

 -

 

 

Exercises 3.10.pdf

Maple(9)-31-32

 

 

Exercises 3.11.pdf

42-54-56

 

 

Exercises 3-review.pdf

17-49-67

 

 

Exercises 4.1.pdf

 -

 

 

Exercises 4.2.pdf

 27-29-32-33

 

 

Exercises 4.3.pdf

66-78

 

 

Exercises 4.4.pdf

17-31-49-54-55-58-71-72-89

 

 

Exercises 4.5.pdf

 -

   

Exercises 4.6.pdf

-

 

 

Exercises 4.7.pdf

 -

 

 

Exercises 4.8.pdf

 -

 

 

Exercises 4.9.pdf

 28-31

 

 

Exercises 4-review.pdf

 47-81

 

 

Exercises5.1.pdf

20-22-23-25

 8 آبان 95

 

Exercises5.2.pdf

17-18-19-20-37-40-56-66-71-72-73

  8 آبان 95

 

Exercises5.3.pdf

7-11-15-57-64-70-72-74

 11 آبان 95

 

Exercises5.4.pdf

15-16-40

  11 آبان 95

 

Exercises5.5.pdf

2-6-7-19-21-46-70-79

 15 آبان 95

 

Exercises6.1.pdf

10-17-31-32

  15 آبان 95

 

Exercises6.2.pdf

6-9-13-18-19-23-28-32-39-48-49

 

 

Exercises6.3.pdf

2-9-14-16-31-23-24-30-39-42

 

 

Exercises6.4.pdf

-

 

 

Exercises6.5.pdf

5-10-24

 

 

Exercises7.1.pdf

10-26-29-30-35-57-63-64

 

 

Exercises7.2.pdf

19-27-36-45-48-62

   

Exercises7.3.pdf

9-17-18-31-32-40

 

 

Exercises7.4.pdf

2-4-33-37-38-53-54

 

 

Exercises7.5.pdf

 3-5-19-25-14-29-41-34-40-67

 

 

Exercises7.6.pdf

 1-3-9-11-21-14-39-44

 

 

Exercises7.7.pdf

 

 

 

Exercises7.8.pdf

 5-14-23-28-38-51-52-53-54

 

 

Exercises 8.1.pdf

 4-5-9-12-15

 

 

Exercises 8.2.pdf

 8-9-11-15-16-25

 

 

Exercises 10.1.pdf

 12-13-17-37-28

 

 

Exercises 10.2.pdf

 5-14-18-30-34-63

 

 

Exercises 10.3.pdf

 1-11-12-15-20-54-62

 

 

Exercises 10.4.pdf

 5-6-22-26-30-40-46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Ansewrs_Stewart.pdf

 پاسخ های سوالات فرد کتاب Stewart

 

 

 

   ____________________________________________________________________

 آزمونها و پاسخها

 

    ًquiz1


 

File.PDF




دانلود

mid_ElectricalEng_calculus93-09-4.pdf

پاسخ کوئیز 1

 

پاسخ های آزمون میان ترم درس ریاضی عمومی 1 مورخه 8-9-94





پاسخ های آزمون میان ترم درس ریاضی عمومی 1 مورخه 4-9-93

دانلود

پاسخ های آزمون پایان ترم درس ریاضی عمومی 1 مورخه 17-10-

 File1.PDF

mid_chem_calculus90_2_6.pdf

 

 پاسخهای میان ترم

calculus Final Sol 89902.PDF

 جوابهای پایان ترم درس ریاضی عمومی 1 نیمسال دوم 89-90 مهندسی شیمی

 CalculusMidterm920222.pdf

 سئوالات آزمون میان ترم

 CalculusMidterm920222_solutions_001.png

CalculusMidterm920222_solutions_002.png

CalculusMidterm920222_solutions_003.png

CalculusMidterm920222_solutions_004.png

CalculusMidterm920222_solutions_005.png

 

   Calculus-94-2-19Midterm.PDF

 

 سئوالات آزمون میان ترم به همراه پاسخها

 

 

 

 


پاسخهای آزمون میان ترم 19-2-94

___

 

 

 

_________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 
معادلات پارامتری و مختصات قطبی
ساعت ٤:٢٦ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

معادلات پارامتری و مختصات قطبی

 _______________________________________________________________________

  1. معادله خط مماس بر   را در نقطه   بدست آورید.

    شکل این تابع را ملاحظه کنید:



    اگر  آنگاه  . نقطه تماس عبارتست از



    اکنون داریم


    بنابراین شیب خط مماس عبارتست از


    و لذا خط مماس عبارتست از


  2. مساحت ناحیه خارج   و داخل   را بدست آورید.

    منحنی ها وقتی   همدیگر را قطع می کنند، یعنی برای مقادیر  . مساحت عبارتست از





________________________________________________________________________

  • آستروئید Astroid

  • کاردیود Cardiod  "قلب"

 

  • سیکلوئید Cycloid
  • r=1+cos(theta)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

برای محاسبه مساحت سطح محصور توسط منحنی پارامتری

توجه کنید این منحنی در نقاط t=0,1 محور xها را قطع می کند(y=0) که متناظر است با نقاط x=2 و x=1+e. بنابراین مساحت عبارتست از

 

 

 

 

 

 

 

توجه: بنا به پیشنهاد یکی از دانشجویان روش دیگر حل انتگرال دوم استفاده از تغییر متغیر زیر است:

 

____________________________________________________________________

منحنی های مشهور:

روی هرکدام از اسامی کلیک کنید تا منحنی مربوطه را مشاهده کنید.

Famous Curves Index

Click on the name of a curve below to see its history and some of its associated curves.

Astroid
Bicorn
Cardioid
Cartesian Oval
Cassinian Ovals
Catenary
Cayley's Sextic
Circle
Cissoid of Diocles
Cochleoid
Conchoid
Conchoid of de Sluze
Cycloid
Devil's Curve
Double Folium
Dürer's Shell Curves
Eight Curve
Ellipse
Epicycloid
Epitrochoid
Equiangular Spiral
Fermat's Spiral
Folium
Folium of Descartes
Freeth's Nephroid
Frequency Curve
Hyperbola
Hyperbolic Spiral
Hypocycloid
Hypotrochoid
Involute of a Circle
Kampyle of Eudoxus
Kappa Curve
Lamé Curves
Lemniscate of Bernoulli
Limacon of Pascal
Lissajous Curves
Lituus
Neile's Parabola
Nephroid
Newton's Parabolas
Parabola
Pearls of de Sluze
Pear-shaped Quartic
Plateau Curves
Pursuit Curve
Quadratrix of Hippias
Rhodonea Curves
Right Strophoid
Serpentine
Sinusoidal Spirals
Spiral of Archimedes
Spiric Sections
Straight Line
Talbot's Curve
Tractrix
Tricuspoid
Trident of Newton
Trifolium
Trisectrix of Maclaurin
Tschirnhaus' Cubic
Watt's Curve
Witch of Agnesi

 

منبع

 

 


 
محاسبه طول خم و مساحت سطح حاصل از دوران
ساعت ٤:٢٥ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

محاسبه طول خم و مساحت سطح حاصل از دوران

 

 

 

به شکل و فرمولهای زیر توجه کنید:

 

 

 

 

توضیحاتی در مورد مثال حل شده در کلاس:

 

راه حل اول:

در مثال زیر با در نظر گرفتن y به عنوان تابعی از x یعنی (y= f(x روش محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران به شکل زیر خواهد بود.

 

راه حل دوم:

با در نظر گرفتن x به عنوان تابعی از y یعنی (x= g(y روش حل به صورت زیر خواهد بود:

 

 راه حل اشتباه!:

 

در راه حل دوم امکان دارد در جایگذاری اشتباه کرده و در وسط کار نقش متغیرهای x و y  تغییر کند. اما نتیجه درستی به دست آید!!!... 

 

  توجه کنید این راه حل چندین اشتباه دارد!

 


 
تکنیکهای انتگرال گیری- انتگرال گیری توسط نرم افزارها
ساعت ٤:٢٤ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

تکنیکهای انتگرال گیری- انتگرال گیری توسط نرم افزارها

 

  1. نرم افزار Maple





  2. نرم افزار Mathematica



    با این نرم افزار در آدرس اینترنتی

                                http://integrals.wolfram.com

    می توانید به صورت آنلاین انتگرالهای خود را محاسبه کنید.


     
  3. رسم نمودارها به صورت آنلاین




 
تکنیکهای انتگرال گیری- روش کسرهای جزئی
ساعت ٤:٢۱ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

تکنیکهای انتگرال گیری- روش کسرهای جزئی

 

توابع به صورت  که در آن  و  چند جمله ای باشند را توابع گویا می نامند.

کسرهای جزئی روند معکوس فرآیند مخرج مشترک گیری است. با این کار می خواهیم توابع ساده تری بدست آوریم تا انتگرال گیری آنها ساده تر باشد. به این مثال توجه کنید

 یعنی تجزیه کسرهای جزئی به این معنی است که اگر کسر طرف راست را بهند بتوانیم دو کسر طرف چپ را از روی آن بدست آوریم.

در اینجا هدف اصلی محاسبه انتگرالهای به فرم  می باشد. البته لازم به ذکر است که تجزیه کسرهای جزئی در محاسبه تبدیل لاپلاس و معکوس آن نیز کاربرد دارد.

این روش اندکی نیاز به محاسبه دارد و لذا بهتر است قبل از امتحان این روش روشهای دیگر را هم بررسی کنیم تا مطمئن شویم آیا راه بهتر و ساده تری هم وجود دارد یا نه؟

 

در آغاز لازم است به فرمولی که اغلب از آن استفاده می شود اشاره کنیم

این فرمول با جانشانی  و لذا  محاسبه می شود. برای مثال

برای تجزیه کسرها 4 حالت وجود دارد که به تفکیک آنها را بیان و سپس مثالهایی را ارائه می کنیم. اول باید بررسی کنیم که درجه صورت کسر از مخرج آن کوچکتر باشد در غیر این صورت با یک تقسیم ساده خارج قسمت را جدا می کنیم و به کسری با درجه صورت کمتر از مخرج می رسیم. به مثال زیر توجه کنید:

همانطور که ملاحظه می شود در طرف چپ "درجه صورت=2>1=درجه مخرج" اما بعد از تقسیم داریم: "درجه صورت=0<1=درجه مخرج".

 

در تجزیه کسر  به این نکته باید توجه کرد که در عبارت مخرج  چه عواملی وجود دارد؟ آیا این عوامل درجه یک هستند یا درجه دو؟ ساده(توان یک) هستند یا توان بالا؟ بر این اساس چهار حالت زیر تفکیک می شود:

الف) اگر مخرج فقط شامل عبارتهای درجه اول ساده مانند   باشد در تجزیه کسر متناظر با آن عبارت  را می نویسیم:

 

 

 ب) اگر عبارت درجه اول به تعداد r مرتبه در مخرج تکرار شود، یعنی عامل  در مخرج وجود داشته باشد. در اینصورت متناظر با این جمله در تجزیه کسر عبارت زیر را می نویسیم:

به مثال توجه کنید. x در مخرج دارای توان 2 است و دو کسر اول برای این عبارت نوشته می شود و (x-1) از درجه 3 است و متناظر با آن سه کسر بعدی نوشته شده است. با مخرج مشترک گیری مجهولات A، B،C، D و E بدست می آیند.

 

ج) اگر مخرج شامل عبارت باشد که در این صورت در تجزیه کسر عبارت زیر در نظر گرفته می شود:

 

 د)  اگر مخرج شامل عبارت باشد که در این صورت در تجزیه کسر عبارت زیر در نظر گرفته می شود:

 

برای مثال به تجزیه کسر زیر دقت کنید:

در مخرج این مثال دو عامل درجه اول ساده، یک عامل درجه دوم ساده و یک عامل درجه دوم از توان دو وجود دارد.

 

_________________________________________________________________

خلاصه چهار حالت بلا در جدول زیر خلاصه شده است:

_________________________________________________________________ 

به مثالهای زیر توجه کنید:

  1. کسر        را تجزیه کنید:



  2.  کسر   را تجزیه کنید:


     
  3. کسر    را تجزیه کنید:


     
  4. تجزیه یک کسر:


    داریم

     

_________________________________________________________________ 

اکنون به محاسبه انتگرالها به فرم

 

می پردازیم. 

  1. انتگرال   را محاسبه کنید.

    مخرج کسر عبارتست از   بنابراین می نویسیم
                     
                           
    با ضرب طرفین به  داریم
                              
    با قرار دادن  نتیجه می شود:
       
    و با قرار دادن  نتیجه می شود:


    و در نتیجه داریم
                           
    بنابراین داریم

     
  2. انتگرال   را محاسبه کنید.

    درجه صورت 3 و درجه مخرج 2 است. صورت را به مخرج تقسیم می کنیم:
                   
    بنابراین،
         
    انتگرال عبارت   را با جانشانی محاسبه کنید

                     
    بنابراین،

    در این مثال با تقسیم محاسبه انتگرال صورت گرفت و نیازی به تجزیه کسرهای جزئی نبود.

  3. انتگرال  را در نظر می گیریم. صورت و مخرج درجه یکسانی دارند و با تقسیم داریم
                                   
    بنابراین،
                        
    انتگرال  به آسانی محاسبه می شود. انتگرال دوم را محاسبه می کنیم. مخرج را فاکتورگیری می کنیم  و داریم

    قرار می دهیم . نتیجه می شود  و لذا 
    قرار می دهیم . نتیجه می شود  و لذا 
    پس داریم،
                        
    بنابراین،

     
  4.  انتگرال   را محاسبه کنید.

    از تجزیه کسرها با توجه به عامل مکرر  داریم
                      
    بعد از مخرج مشترک و طرفین و وسطین داریم
                   
    قرار می دهیم  داریم .
    قرار می دهیم  داریم 
    مقادیر a  و c  را قرار دهید 

    برای پیدا کردن b مقداری برای x جایگزین می کنیم. با فرض  داریم
                   
    بنابراین،
                            
    داریم
                 
    برای پیدا کردن مقدار b راههای دیگری نیز وجود دارد. برای مثال چون (*) یک اتحاد نسبت به x است لذا از طرفین آن نسبت به x مشتق می گیریم، داریم
                       
    با قرار دادن نتیجه می شود.  و در نتیجه .
     
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

______________________________________________________________________

ابتدا توجه کنید که انتگرال زیر به طور مکرر در این بحث استفاده می شود:

  1. کسر زیر را چگونه تجزیه می کنید؟

    پاسخ عبارتست از:




  2. انتگرال  را محاسبه کنید.

    ابتدا توجه کنید:


    در این مثال فرم درجه دوم ساده شدنی نیست. لذا تجزیه را به شکل زیر انجام می دهیم:



    با مخرج مشترک گیری و حذف مخرج داریم:


    قرار دهید: . در این صورت  و لذا  .  با جایگذاری این مقدار داریم

    قرار دهید . نتیجه می شود لذا داریم  .  با جایگذاری ان مقدار نتیجه می شود:

    می توان برای محاسبه b مقدار دلخواهی را به جای x قرار داد و یا از مشتق گیری استفاده کرد. مشتق می گیریم:

    با مشتق گیری دوباره داریم:

    بنابراین نتیجه می شود: b=-1/3.
    با جایگذاری مقادیر بدست آمده در کسر اصلی داریم

    انتگرال عبارتست از


    انتگرالها را به طور مجزا محاسبه می کنیم. ابتدا داریم:

    سپس داریم


    انتگرال اول را با جانشانی محاسبه می کنیم:


    انتگرال دوم را با تبدیل به مربع کامل حل می کنیم:



    با قرار دادن دو نتیجه در کنار هم داریم:

    بنابراین جواب مساله اصلی عبارتست از:

    راه حل یک مقدار طولانی است!
    بنابراین قبل از امتحان روش کسرهای جزئی بهتر است روشهای دیگر را بررسی کنیم و در صورت عدم موفقیت روشهای دیگر با این روش حل کنیم.

______________________________________________________________________

انتگرالهای زیر را محاسبه کنید:

  1.      راهنمایی         حل

  2.    راهنمایی       حل
     
  3.   راهنمایی       حل  

     
  4.    راهنمایی       حل
     
  5.   راهنمایی       حل
     
  6.  راهنمایی       حل
     
  7.  راهنمایی       حل
     
  8.  راهنمایی       حل
     
  9.   راهنمایی       حل
     
  10.   راهنمایی  حل

 

  •  

 


 
تکنیکهای انتگرال گیری- انتگرالهای مثلثاتی و جانشانی مثلثاتی
ساعت ٤:٢۱ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

 

_____________________________________________________________________

برای انتگرالهای شامل سینوس و کسینوس دو حالت مهم وجود دارد.

  1. انتگرال شامل یک توان فرد از سینوس یا کسینوس است.
  2. انتگرال فقط شامل توانهای زوج سینوس و کسینوس می باشد. 

ایده مشابهی برای انتگرال گیری تانژانت و کتانژانت وجود دارد که در ادامه توضیح داده می شود.

_____________________________________________________________________

  1. اگر m  فرد باشد:  u=cos x
  2. اگر  n فرد باشد:  u=sin x
  3. اگر  m و n زوج باشند از روابط نصف کمان استفاده کنید.
        

_____________________________________________________________________

مثال.

 

همانطور که ملاحظه می کنید نکته اصلی در خط دوم است. در این انتگرال تعداد زیادی  و  وجود دارد که با توجه به آنها از جانشانی استفاده می کنیم و توجه داریم که جمله  برای ساختن  وجود دارد.  

در ضمن از اتحاد نیز استفاده شده است.

_____________________________________________________________________

مثال. 

 _____________________________________________________________________

با ایده مشابهی می توان انتگرالهای شامل تانژانت و سکانت را محاسبه کرد.

  • با استفاده از اتحاد  انتگرال را برحسب تعدادی و یک  بنویسید و از جانشانی  استفاده کنید.
  • با اتحاد  انتگرال را بر حسب  تعدادی و یک مورد از عبارت  بنویسید و از جانشانی  استفاده کنید.

 _____________________________________________________________________

  1. اگر n زوج باشد: u = tan x
  2. اگر m فرد باشد:   u = sec x

در سایر حالتها باید از اتحادها و انتگرال گیری جزء به جزء استفاده شود.

 _____________________________________________________________________

مثال. انتگرال زیر را در نظر بگیرید(با جز به جز شروع می کنیم):

 

 _____________________________________________________________________

 مثال.

 _____________________________________________________________________

مثال.

 _____________________________________________________________________

مثال.

 

انتگرال اول را می توان با جانشانی و بنابراین  یا  حل کرد:

 انتگرال دوم را با جانشانی و  یا  می توان محاسبه کرد:

بنابراین

 _____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را می توان با ابتکار زیر محاسبه کرد:

 _____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را می توان با روش جزء به جزء حل کرد:

 

بنابراین،

این فرمول در محاسبات زیادی کاربرد دارد و بهتر است آن را به خاطر بسپارید.

 _____________________________________________________________________

از روش استفاده شده برای توانهای تانژانت و سکانت می توان برای محاسبه انتگرالهای شامل توانهای کتانژانت و کسکانت استفاده کرد. 

برای مثال مشابه روش محاسبه انتگرالهای  و  داریم،

به عبارت دیگر می توانید از اتحاد 

استفاده کنید. برای مثال داریم،

 _____________________________________________________________________

برای انتگرالها با توانهای زوج سینوس و کسینوس از فرمولهای دوبرابر کمان استفاده می شود:

 _____________________________________________________________________

مثال.

 _____________________________________________________________________

مثال. معمولا استفاده از فرمول دوبرابر کمان در توانهای فرد مناسب نیست. به مثال زیر توجه کنید:

در اینجا برای محاسبه انتگرال  باید از فرمول تبدیل به مجموع یا روش جزء به جزء استفاده کنید.

اما روش ساده تر استفاده از تکنیک توانهای فرد است:

  _____________________________________________________________________

درستی روابط زیر را با تبدیل حاصلضرب توابع مثلثاتی به مجموع بررسی کنید:


 _____________________________________________________________________

جانشانی مثلثاتی:


  


 _____________________________________________________________________

 جانشانی مثلثلتی انتگرالها را به انتگرالهای مثلثاتی تیدیل می کند. برای این کار باید ببینیم کدامیک از حالتهای زیر می تواند در انتگرال بوجود آید:

 

  • اگر عبارت  در انتگرال وجود داشته باشد با توجه به اتحاد اول از جانشانی  استفاده کنید.
  • اگر عبارت در انتگرال وجود داشته باشد با توجه به اتحاد اول از جانشانی استفاده کنید.
  • اگر عبارتدر انتگرال وجود داشته باشد با توجه به اتحاد اول از جانشانی  استفاده کنید.

اگر بعد از جانشانی با اتحادهای فوق روبرو نشوید احتمالا جانشانی را اشتباه انجام داده اید.

_____________________________________________________________________

مثال.

برای تکمیل جواب باید همه چیز را بر حسب x بیان کنیم. چون جانشانی برحسب صورت گرفته عبارتهای مثلاتی برحسب و  نیز باید برحسب کمان  نوشته شوند:

بنابراین،

اکنون با استفاده از مثلث 

داریم،

_____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

 

عبارت   شبیه به  است. بنابراین از جانشانی ،

 استفاده می کنیم.

_____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

این انتگرال را می توان با جانشانی  محاسبه کرد. اما استفاده از جانشانی u آسانتر است:

_____________________________________________________________________

مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

عبارت  شبیه به  است و لذا از جانشانی ،

 استفاده می کنیم. داریم،

 _____________________________________________________________________

 

 برای انتگرالهایی که تابع انتگران(تابع تحت انتگرال) به فرم F(sin x, cos x) باشد از تغییر متغیر زیر استفاده می کنیم:

 

 

  • مثال 1.

 

  • مثال 2.

 

________________________________________________________________________

 

 

 

 

 


 
تکنیکهای انتگرال گیری- روش جانشانی
ساعت ٤:٢٠ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

تکنیکهای انتگرال گیری- روش جانشانی

 

همانطور که می دانیم قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه انتگرال را منوط به دانستن تابع اولیه(پادمشتق) کرده است. تشخیص تابع اولیه خیلی از انتگرالها نیاز به آشنایی با برخی از تکنیکهای انتگرال گیری است که یکی از مهمترین این روشها روش جانشانی می باشد.

هدف از جانشانی رسیدن به فرمی از انتگرال است که تشخیص تابع اولیه در آن آسان است.

برای مثال با جدول پادمشتق ها نمی توان تابع اولیه انتگرال

را پیدا کرد. اما با فرض u = 1+x2 داریم du = 2xdx و با جایگذاری در انتگرال نتیجه می شود

محاسبه انتگرال اخیر آسان است. داریم

به طور کلی داریم

 

The Substitution Rule

دستور جانشانی: اگر تابع (u = g(x یک تابع مشتق پذیر باشد که برد آن بازه I باشد و تابع f در I پیوشته باشد آنگاه

 


 
تکنیکهای انتگرال گیری- روش انتگرال گیری جزء به جزء
ساعت ٤:۱٩ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

تکنیکهای انتگرال گیری- روش انتگرال گیری جزء به جزء

 

اگر u و v  توابعی از  x باشند قاعده مشتق حاصلضرب می گوید

 

 با انتگرال گیری از طرفین داریم

 

 

 این فرمول انتگرال گیری جزء به جزء است.  طرف چپ انتگرالی است که می خواهید آن را محاسبه کنید و در طرف راست دو جزء وجود دارد که یکی نیازی به انتگرال گیری ندارد() و دیگری عبارتست از (). این کار وقتی امکان پذیر است که انتگرال دوم ساده تر از انتگرال اول باشد.

در اینجا می خواهیم انتگرال گیری جزء به جزء توسط جدول را توضیح دهیم. این کار آسان تر از محاسبه-u خواهد بود. برای آنکه این روش را توضیح دهیم از فرمول زیر شروع می کنیم 

 دوباره انتگرال گیری جزء به جزء را به انتگرال طرف راست به کار ببرید. این بار از  مشتق و از v انتگرال بگیرید

 

 اگر بازهم انتگرال گیری جزء به جزء را به انتگرال طرف راست به کار ببریم داریم

 در اینجا یک الگویی وجود دارد که جدول زیر به آسانی آن را نشان می دهد

  مثال. انتگرال  را محاسبه کنید.

 با توجه به عبارتهای  و   در زیر انتگرال باید تصمیم بگیریم در عبارت   کدام قسمت را u  و کدام قسمت را  انتخاب کنیم.

 در اینجا از  و  استفاده می کنیم.  با تشکیل جدول و نوشتن علامتهای متناوب در ستون چپ داریم

 

 مشتقات  در یک ستون و انتگرال های  در ستون دیگر قرار دارد. به محض اینکه مشتق در ستون مشتقات صفر شود انتگرال گیری هم متوقف می شود.

بنابرین، 

 عبارت  برابر 0 است و داریم

 اگر عکس روند بالا عمل می کردیم یعنی   را در ستون انتگرال گیری و  را در ستون مشتق گیری قرار می دادیم ببینید چه اتفاقی می افتاد 

 یعنی وضعیت رفته رفته پیچیده تر و دشوارتر می شد. شاید یک انتخاب دیگر به صورت زیر باشد

 که این کار هم موفقیتی در بر ندارد.

 

 _________________________________________________________________

 برای انتخاب توابع برای ستون مشتق گیری توصیه می شود اولویت بندی زیر را رعایت کنیم. البته این کار قطعی و خلل ناپذیر نیست و به طور کلی باید شرایط هر مساله را در نظر گرفت.

توابع نمایی - توابع مثلثاتی - توانها - توابع مثلثاتی معکوس - لگاریتمها

یا به طور خلاصه

برای مثال اگر بخواهید این روش را برای انتگرال

استفاده کنید لگاریتم   را در ستون مشتق گیری و توان x را در ستون انتگرال گیری قرار می دهیم.

یا انتگرال 

را در نظر می گیریم. در اینجا با توجه به الویت بندی بالا تابع  در ستون مشتق و تابع  در ستون انتگرال قرار می گیرد. توجه کنید که توابع مثلثاتی نسبت به توابع نمایی اولویت دارند تا در ستون مشتق قرار گیرند.

 _________________________________________________________________ 

 مثال. الف) انتگرال  را محاسبه کنید.

ب) انتگرال   را محاسبه کنید

 

مثال. انتگرال   را محاسبه کنید.

ابتدا انتگرال قسمت توان را با جانشانی محاسبه می کنیم

با همان جانشانی داریم

جدول را تشکیل می دهیم

بنابراین،

توجه کنید که این انتگرال را می توان با جانشانی  نیز حل کرد.

 

 مثال. انتگرال   را محاسبه کنید.

انتگرال گیری جزء به جزء در مواردی که تابع انتگران یک تابع تک باشد نیز مفید است. در اینجا روش مناسبی نمی توانید برای انتگرال گیری  پیدا کنید، بنابراین از انتگرال گیری جزء به جزء استفاده کنید

بنابراین،

انتگرال جدید را می توانیم با جانشانی ، بنابراین  و  محاسبه کنیم

 

 

مثال. انتگرال   را محاسبه کنید.

نخست پادمشتق را محاسبه کنید و سپس حدود را قرار دهید

بنابراین،

 

مثال. انتگرال   را محاسبه کنید. 

در اینجا بعد از دوبار جزء به جزء به همان انتگرال اول می رسیم. کافی است همانند یک معادله ساده مقدار انتگرال را به عنوان مجهول معادله محاسبه کنیم

 

مثال. انتگرال    را محاسبه کنید.

 

 

این انتگرال را با جانشانی    نیز می توانید محاسبه کنید.

 


 
محاسبه حجم حاصل از دوران
ساعت ٤:۱۸ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

حجم حاصل از دوران

 

انیمیشن های زیر برای تجسم بهتر روشهای مختلف محاسبه حجم مفید هستند.

لطفا بدقت به همه آنها توجه کنید(برای راحتی فرمتهای gif را مشاهده کنید):

  1. روش سطح مقطع(cross section method)

    The (Cross) Section Method Gallery

  2. روش غشای استوانه ای(روش استوانه ای shell method)

    The Shell Method Gallery

  3. روش واشرها(washer method)

    The Washer Method Gallery

  4. روش دیسک(Disk method)

    The Disk Method Gallery




    در نرم افزار Maple  برای ایجاد حجمهای حاصل از دوران به منوی

    Tools>Tutors>Calculus-Single Variable>Volume of Revolution

    که در شکلها نمایش داده شده است مراجعه کنید:
    توجه: اگر شکلها دیده نمی شود صفحه را  Refresh کنید.

    شکل 1:

 

شکل 2:

 

______________________________________________________________________

 







مثالهایی از روش غشاء استوانه ای و روش واشرها برای محاسبه حجم:

 

حجم حاصل از دوران حول محور xها:

 



 

 _________________________________________________________________________

 

 

 


 
محاسبه مساحت با انتگرال معین
ساعت ٤:۱۸ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

محاسبه مساحت با انتگرال معین

 

  1. مساحت ناحیه محدود به   و   را بدست آورید.



    این معادلات را به طور همزمان حل کنید(نقاط برخورد را بدست آورید):



    منحنی ها همدیگر را در نقاط   و  قطع می کنند.

    در اینجا برای راحتی از مستطیل های افقی استفاده می کنیم. خم چپ عبارتست از  و  خم راست عبارتست از . مساحت برابر است با:



  2. مساحت ناحیه محدود به خمهای   و     از بالا و از پایین محدود به محور x-ها از   تا   را بدست اورید.

    دو روش در نظر می گیریم. ابتدا مستطیلهای عمودی را در نظر می گیریم:


    خم بالایی برای  تا  عبارتست از  و برای  تا  عبارتست از .  خم پایینی عبارتست از  که همان محور x-هاست. 

    بنابراین به دو انتگرال نیاز داریم:


    سپس مستطیلهای افقی را در نظر می گیریم:


    خم چپ عبارتست از   و خم راست عبارتست از       . مساحت عبارتست از:

_____________________________________________________________________

 


 
انتگرال معین-انتگرال ریمان(مجموع ریمان)
ساعت ٤:۱٧ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

انتگرال معین-انتگرال ریمان(مجموع ریمان)

 

 

صرفا برای مطالعه بیشتر(این مثال): در مثال 7 بخش 5.4 مشاهده خواهید کرد که چگونه از داده های مصرف قدرت(قدرت عبارتست از نرخ تغییرات انرژی) و انتگرال استفاده کرده و میزان انرژی مصرف شده یک روز در سان فرانسیسکو را محاسبه کنید.

__________________________________________________________________

تعریف انتگرال معین و بیان قضایای زیر:

 

 

و قضایای اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال(حسابان):

 

 

این قضیه رابطه بین انتگرال نامعین و انتگرال معین را مشخص می کند.

 

بهتر است روابطی مانند اتحادهای زیر را هم بدانید یا مرور کنید:

_____________________________________________________________________

 

یکی از دانشجویان این سوال را پرسیده است:

 

سلام استاد خسته نباشید.من یه سوال از اوایل بخش انتگرال ها میخواستم بپرسم.استاد شما انتگرال y=e^-x را در بازه ی صفر تا دو به روش معمولی به دست اوردین میشه به روش سیگما هم اثبات کنین؟مشکل من حد گرفتن از سیگما است .

 

پاسخ:

 

 

 توجه کنید که:

با جایگذاری داریم:

 

برای درک بهتر اینکه حد فوق چگونه محاسبه شده است با استفاده از بسط تیلور داریم:

 

 

______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 


 
پادمشتق و انتگرال
ساعت ٤:۱٦ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

پادمشتق و انتگرال

 

 

پاد مشتق های تابع :

 

 

 

 


 
حد و پیوستگی و مشتق
ساعت ٤:۱٥ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

حد و پیوستگی و  مشتق 

 

مرور چند قضیه مهم از حد و پیوستگی

قضایای مهم حد در کتاب های استاندارد وجود دارد. برای مثال به کتاب استوارت مراجعه کنید.

در اینجا چند قضیه را مرور می کنیم.

قضیه. اگر به ازای مقادیر x نزدیک به a ( احتمالا به جز a) داشته باشیم و حد این دو تابع وقتی که x به a میل کند موجود باشد آنگاه

                                  

قضیه. (قضیه فشار) اگر برای مقادیر x نزدیک به a (به جز احتمالا a) داشته باشیم
                                   

و

                             

آنگاه    

                                              

یک مثال از قضیه فشار عبارتست از:

به شکل زیر توجه کنید:

قضیه. توابع زیر در هر نقطه در دامنه خود پیوسته اند.

چندجمله ایها، توابع گویا، توابع ریشه، توابع مثلثاتی، توابع مثلثاتی معکوس، توابع نمایی و توابع لگاریتمی.

 

تمرین. ناحیه پیوستگی تابع زیر را تعیین کنید

جواب. 

 

قضیه. اگر تابع f در b پیوسته باشد و آنگاه . به عبارت دیگر

 

مثال.

 

_____________________________________________________________________

  1. حدود زیر را محاسبه کنید.

 

 

 

 

 

اثبات (i): برای اثبات این حد از نامساوی زیر استفاده می کنیم:

و یا

برای اثبات این نامساویها از قضیه مقدار میانگین استفاده کنید. در شکل زیر درستی این نامساویها را می توانید مشاهده کنید:

 

 رنگ قرمز(لگاریتم: y= ln x)، رنگ آبی: y=x-1 و رنگ سبز  y=x. توجه کنید به ازای x>1 تابع لگاریتم مثبت است: ln x>0.

 

در نامساوی آخر طرفین به عبارت xa تقسیم شده است. اکنون با فرض a-s>0 ، مثلا فرض کنید s=a/2 باشد، حد طرف راست نامساوی بالا صفر است:

بنابراین طبق قضیه فشار داریم

 اثبات (ii): قرار دهید x=ln t و از (i) استفاده کنید.

 اثبات (iii): قرار دهید x=1/t و از (i) استفاده کنید.

 اثبات (iv): قرار دهید x= -t و از (ii) استفاده کنید.

_____________________________________________________________________

در این تمرین تلاش شده است سرعت سه تابع با هم مقایسه شود:

 

_____________________________________________________________________

 

_____________________________________________________________________

در مثال زیر محدوده x که بتوان تابع  

(1+x)-3

را با دقت 0.1 با خطی سازی محاسبه کرد نشان می دهد.

تابع y=1-3x خطی سازی این تابع در نقطه x=0 است.

with(plots);

plot([1/(1+x)^3, 1-3*x, .1+1/(1+x)^3, -.1+1/(1+x)^3], x = -1/5 .. 1/5);


_____________________________________________________________________

 

تمرین: حد زیر را محاسبه کنید:

_______________________________________________________________________

 

 

 

 



 


 
توابع نمایی، توابع معکوس، توابع مثلثاتی و لگاریتمی
ساعت ٤:۱٤ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

 

توابع نمایی

____________________________________________________________________

توابع نمایی نقش بسیار مهمی در بیان رفتار بسیاری از پدیده ها دارند. همچنین این خانواده از توابع در تعریف بسیاری از توابع دیگر از جمله توابع مثلثاتی، لگاریتم ها و... نقش اساسی دارند.

 

تعریف توان را از ریاضیات مقدماتی می دانیم. برای مثال عدد a به توان عدد طبیعی n  عبارتست از:

                                                          an = a.a...a           بار n

اگر n منفی هم باشد داریم

                                                          a-n  = 1/an                                           

به همین ترتیب می شود این تعریف را به اعداد گویا تعمیم داد. اما تعریف ax برای xهای حقیقی کار آسانی نیست و نیاز به دانستن جزئیاتی دارد.  از جمله اینکه هر عدد گنگ حد دنباله ای از اعداد گویا است و چون برای اعداد گویا تابع نمایی را تعریف کرده ایم و لذا می توان با محاسبه حد یک تابع نمایی مقدار آن را برای xهای حقیقی محاسبه کرد.

 بنابراین یک تابع نمایی با پایه a>0 به ازای همه مقادیر حقیقی تعریف می شود و به بیان دقیق تر دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است.

 

تابع y = 2x را در نظر بگیرید. به ازای مقادیر گویای x شکل این تابع عبارتست از

هر عدد گنگ بین دو عدد گویا قرار دارد و لذا قسمتهای خالی شکل فوق با محاسبه تابع در مقادیر گنگ پر می شود:

به طور کلی توابع نمایی به سه حالت زیر تقسیم می شوند:

یعنی برای a<1 تابع نمایی نزولی، برای a=1 ثابت و برای a>1 صعودی است. به شکل های زیر توجه کنید:

     

 ____________________________________________________________________

توابع معکوس

 

تابع y=f(x) را در نظر می گیریم. معکوس این تابع به صورت زیر تعریف می شود.

برای بدست آوردن تابع معکوس باید بخشی از دامنه تابع f را در نظر بگیریم که تابع در آنجا یک به یک باشد. اگر تابعی در سراسر دامنه خود یک به یک باشد در همه جا معکوس پذیر است.

توجه کنید دامنه و برد تابع معکوس عبارتند از:

به روابط زیر دقت کنید و حوزه ای که این روابط برقرار هستند را به خاطر بسپارید

____________________________________________________________________

معکوس توابع مثلثاتی

 

مثال. تابع y= sin(x) را در نظر می گیریم.

 

همان طور که مشاهده می شود تابع y=sin x در کل دامنه یک به یک نیست. اگر بخواهیم بزرگترین قسمت از دامنه را انتخاب کنیم که این تابع یک به یک باشد بی درنگ باید بازه

را بر می گزینیم.در این بازه شکل تابع به صورت زیر است

 

در این زیر بازه تابع یک به یک است. معکوس آن عبارتست از

تابع معکوس را در شکل زیر می بینیم:


 

تابع معکوس با تقارن نسبت به خط y =x  به دست می آید. برای مشاهده این موضوع سه منحنی را با هم در شکل زیر مشاهده می کنیم.

 

به دامنه و برد تابع معکوس دقت کنید:

 

حال روابط معکوس را برای این دو تابع می نویسیم:

عدم توجه به بازه هایی که این روابط برقرار است منجر به اشتباهات بزرگی خواهد شد.

_________________________________________________________________

به همین ترتیب می توان معکوس توابع مختلف را بدست آورد.

 

 معکوس تابع y=cos(x):

 در شکل زیر y=cos-1(x) را مشاهده می کنید:

 

 

روابط زیر از تابع معکوس نتیجه می شود:

_________________________________________________________________

تمرین. دامنه و برد توابع زیر را تعیین کنید و آنها را رسم کنید.

____________________________________________________________________

 

معکوس توابع نمایی

 

معکوس توابع نمایی لگاریتم نامیده می شود:

به شرط زیر روی پایه توجه کنید:

 

دامنه و برد تابع نمایی:

 

دامنه و برد تابع لگاریتم: 

شکل تابع نمایی و لگاریتم طبیعی:

 

تابع لگاریتم در دامنه خود پیوسته است. 

با استفاده از خصوصیات لگاریتم می توان مشتق توابع پیچیده و برخی از حدود دشوار را محاسبه کرد.

برای جزئیات به بخش حد، پیوستگی و مشتق مراجعه کنید.

_________________________________________________________________

مشتق توابع معکوس

 

با توجه به رابطه

و با کمک مشتق زنجیره ای داریم

بنابراین داریم

با این رابطه می توان مشتق تابع معکوس را محاسبه کرد.

_________________________________________________________________

 

مثال. با فرض f(x)=xex  برای  x>0 خط مماس بر f-1 را در نقطه x=e بدست آورید.

 

با مشتق گیری از f داریم:

با توجه به اینکه

شیب برابر است با

بنابراین خط مماس به صورت زیر است

 


 
اعداد مختلط
ساعت ٤:۱۳ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

اعداد مختلط:

 جهت دریافت مطالب مربوط به اعداد مختلط اینجا  یا اینجا! را کلیک کنید.

دانلود فایل pdf جزوه اعداد مختلط

تمریناتی از اعداد مختلط:

عبارت را به صورت نمایش دهید.

حل.  اندازه(قدر مطلق) و آرگومان عدد مختلط را حساب کنید و در فرم جایگذاری کنید:

 

 

 

 

 

 

 

توجه کنید که با توجه به اینکه آرگومان(شناسه) یک عدد مختلط یکتا نیست ممکن است چندین نمایش به صورت برای یک عدد مختلط نوشته شود.

2. عبارت را به صورت بنویسید.

حل.



عدد مختلط را به فرم بنویسید.

حل.





___________________________________________________________________________

 

با وارد کردن دستورات زیر ریشه های nام عدد 1 را رسم کنید:

 

 

_________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       دریافت تمرینات

                           

 


 
آموزش Maple
ساعت ٤:۱٢ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۳/۸/٩ : توسط : دکتر جواد فرضی

 

برای دانلود Maple 15 به لینک زیر مراجعه شود:

Download Maple 15

برای آموزش مطالب مربوط به ریاضی عمومی 1 در داخل نرم افزار Maple به منوی زیر مراجعه کنید:
Tools>Tutors>Calculus-Single Variable> 




  1. تعریف تابع و استفاده از آن در رسم نمودار و محاسبه مشتق و...



  2. محاسبه حد:

    به دو صورت از منو یا به صورت تایپ توسط کاربر انجام می شود. به مثالها توجه کنید:




  3.  رسم تابع



  4. محاسبه انتگرال



  5. تجزیه کسرهای جزئی



    برای تجزیه کسرهای جزئی در Maple از دستور زیر استفاده کنید. به این مثال توجه کنید:

    می خواهیم انتگرال زیر را محاسبه کنیم:

    برای این منظور نیاز به تجزیه کسرهای جزئی است. برای تجزیه از دستورات Maple استفاده می کنیم:

      convert(1/(x^2-1)^2, parfrac, x);                                             

    که در آن عبارت parfrac مخفف کلمات partial fraction  به معنی کسر جزئی است. 

    انتگرال آن عبارتست از:

    با استفاده از این موضوع انتگرال زیر را محاسبه کنید:

     


     
  6. مجموع ریمان














  7.  رسم توابع ضمنی در Maple

    یک مثال از رسم شکل توابع ضمنی.

     

    در این مثال توابع x = y^2 و  y = x^2 با هم در یک نمودار رسم شده اند.

     

    with(plots, implicitplot);

    implicitplot([x = y^2, y = x^2], x = -2.. 2, y = -2 .. 2);

     

     

     

  8. رسم توابع پارامتری




    1. رسم ریشه های مختلط

              با وارد کردن دستورات زیر ریشه های nام عدد 1 را رسم کنید:

       

       

       

       


  9. سئوال شده است در Maple چگونه رنگ شکل را تعیین کنیم؟ لطفا به مثالهای زیر توجه کنید و در نرم افزار حتما انجام دهید.






















برای دریافت فایل Maple دستورات فوق به این لینک مراجعه شود:

                                       Calculus3.mw

 

___________________________________________________________________

روشهای انیمیشن در Maple

plots[animate]()

 

> with(plots):

> animate(x*t,x=-10..10,t=1..10,view=-10..10);

[Maple Plot]

> animate(x*theta,x=-10..10,theta=1..10,view=-10..10);

[Maple Plot]

 

> animate(sin(x*t),x=-2*Pi..2*Pi,t=0..4,color=red);

[Maple Plot]

 

> animate(x/t,x=-10..10,t=1..50,frames=500);

[Maple Plot]

استفاده از دنباله ها

 

> seq(x^t,t=1..5);

[Maple Math]

> plot(x^t,x=-t..t);

Error, (in plot) parameter range must evaluate to a numeric

> seq(plot(x^t,x=-t..t),t=1..5):

 

> display(seq(plot(x^t,x=-t..t),t=1..5));

[Maple Plot]

 

> display(seq(plot(x^t,x=-t..t,-t..t),t=1..5),insequence=true);

[Maple Plot]

 

> display(seq(plot(x^t,x=-t..t,-t..t)$10,t=1..5),insequence=true);

[Maple Plot]

_________________________________________________________________________

 

یک مثال از رسم شکل توابع ضمنی.

 

در این مثال توابع x = y^2 و  y = x^2 با هم در یک نمودار رسم شده اند.

 

with(plots, implicitplot);

implicitplot([x = y^2, y = x^2], x = -2.. 2, y = -2 .. 2);

 

 

 

 

 ______________________________________________________________________